1. 서로 다른 2개의 주사위를 던질 때, 눈의 합이 4의 배수가 될 경우의 수는?
눈의 합이 4의 배수인 경우는 4, 8, 12 가 있을수 있습니다
순서쌍을 만들어 생각해 보면
4일 경우 = (1,3),(2,2),(3,1)
8일 경우 =(2,6), (3,5), (4,4), (5,3),(6,2)
12일 경우 = (6,6)
총 9가지입니다
2. x + y < 5 인 양의 정수 x, y 의 순서쌍의 개수는?
x+y가 4이하이어야합니다
x와 y가 양의 정수이므로 x+y는 2보다 크거나 같고 4보다 작거나 같습니다
역시 순서쌍을 이용하여 풀면
x+y가 2일때 (1,1)
x+y가 3일때 (1,2), (2,1)
x+y가 4일때 (1,3),(2,2),(3,1)
총 6가지의 경우가 됩니다.
3. 두 자리 자연수 중 짝의 개수는?
십의자리와 일의자리를 나누어 생각합니다
십의자리에 올수있는수는 1~9까지 9개의 숫자입니다
일의자리에 올수있는 수는 2,4,6,8,0 5개의 숫자입니다.
(일의자리의 수만 짝수의 결정에 영향을 주므로^^;;)
이것이 동시에 일어나므로 곱해주면 됩니다
즉, 9*5=45가지의 경우가 있습니다.
4. (a+b+c)(x+y)의 항의 개수는?
앞의 항의개수는 3이고 뒤의 항의개수는 2입니다
여기서 총 3*2=6개의 항의 개수가 나옵니다
여기서 중복되는 항이 없으므로 항의 개수는 6개가 됩니다.
5. 90과 54의 공약수의 개수는?
90을 소인수분해하면 2*3^2*5 이고 54를 소인수분해하면 2*3^3입니다
이것의 최대공약수는 2*3^2 입니다 즉 18입니다
공약수의 개수는 최대공약수의 약수의 개수와 같습니다
그리고 약수의 개수는 소인수분해를 했을때 지수에 1을 더한것들을 모두 곱한값과 같으므로
(1+1)(2+1)=2*3=6이 됩니다
직접 18의 약수를 모두 구해도 됩니다.
6. 10명의 회원 중 회장, 부회장, 총무 각 1명씩 선출하는 방법의 수는?
10명의 회원중 회장, 부회장,총무는 같은사람이 할수 없으므로
10(10명중 회장을 선출)*9(남은 9명중 부회장을 선출)*8(남은 8명중 총무를 선출)
=10*9*8=720가지입니다.
7. 남학생 2명, 여학생 3명이 있다.
(1) 한 줄로 세우는 방법의 수
한줄로 세우는 것은 남학생과 여학생이 상관없이 5명이 줄을짓는것이므로
5!=5*4*3*2*1=120가지가 됩니다.
(2) 여학생이 모두 이웃하는 방법의 수
여학생이 모두 이웃하는 경우는 여학생을 전체로 1로 보고 여학생들이 자리를 바꾸는 경우를 곱해주면 됩니다
즉 남학생 2명과 여학생집단 1명을 나열해주는 경우의수 3!=3*2*1=6에
여학생 3명이서 자리를 배열하는수인 3!=3*2*1=6을 곱해주면 됩니다.
즉 6*6=36이 됩니다.
(3) 남학생이 양 끝에 서는 방법의 수
남학생이 양끝에 서면 남자와 여자의 자리는 정해져있습니다(경우의수 1)
그러므로 남학생이 자리를 바꾸는 경우의수와 여학생이 자리를바꾸는 경우의 수를 곱해주면 됩니다.
즉 남학생이 자리를 바꾸는 경우의수 2!=2*1 과
여학생이 자리를 바꾸는 경우의 수 3!=3*2*1=6을 곱해주면
2*6=12가 됩니다.
(4) 남녀 교대로 서는 방법의 수
남자가 왼쪽끝에 오는경우-> 남녀교대로 설수 없음
그러므로 여자가 왼쪽끝에오고
남자와 여자가 배열되는 경우의수는 1이 됩니다
즉, 여남여남여 이렇게 서야합니다
그러므로 남학생이 자리를 바꾸는 경우의수와 여학생이 자리를바꾸는 경우의 수를 곱해주면 됩니다.
즉 남학생이 자리를 바꾸는 경우의수 2!=2*1 과
여학생이 자리를 바꾸는 경우의 수 3!=3*2*1=6을 곱해주면
2*6=12가 됩니다.
8. 0,1,2,3,4를 한번씩 사용하여
(1) 세 자리 정수의 개수는?
백의자리에 올수있는수는 0을 뺀 4가지가 됩니다,
십의자리에 올수있는수는 백의자리에 쓴 수를 하나 빼고 0을 더한 4가지가 됩니다
일의자리에 올수있는수는 백의자리에 쓴수와 십의자리에 쓴 수를 뺀 3가지가 됩니다
이것을 다 곱하면 답입니다
즉 , 4*4*3=48 가지입니다.
(2) 세 자리 짝수의 개수는?
짝수는 일의자리에만 상관하므로 일의자리를 먼저 생각해 줍니다.
일의자리가 0 또는 2 또는 4로 끝나는 경우를 생각해주면 됩니다
일의자리가 0일때
백의자리에 올수있는수는 0을 뺀 4가지, 십의자리에 올수있는수 0과 백의자리수를 뺀3가지입니다.
즉 4*3=12가지입니다.
일의자리가 2일때
백의자리에 올수있는수는 0과2를 뺀 3가지, 십의자리에 올수있는수는 2와 백의자리수를 빼고 0을 더한 3가지입니다.
즉 3*3=9가지입니다.
일의자리가 4일때
2일때와 마찬가지로
백의자리에 올수있는수는 0과4를 뺀 3가지, 십의자리에 올수있는수는 4와 백의자리수를 빼고 0을 더한 3가지입니다.
즉 3*3=9가지입니다.
이 모든경우를 더하면 12+9+9=30가지입니다.
9. 0,1,2,3,4를 중복 사용하여 세 자리 수
중복사용 세자리수이므로
백의자리 수만 생각해주면 됩니다
백의 자리에는 0이 올수 없으므로 4가지가 됩니다
수를 중복사용가능하므로 십의자리에는 모든 수가 올수 있습니다.
따라서 경우의 수는 5가지입니다
마찬가지로 일의자리도 5가지의 경우가 있습니다
이 수를 모두 곱해주면 4*5*5=100가지의 경우가 있습니다.
10. 1,2,3,4,5
(1) 한번씩 사용, 3자리 정수
한번씩 사용하므로 백의자리수 5가지, 십의자리수 4가지, 일의자리수 3가지
5*4*3=60가지
(2) 중복사용, 3자리 정수
중복사용하므로 백의자리수 5가지, 십의자리수 5가지, 일의자리수 5가지
5*5*5=125가지
(3) 4와 5가 이웃한 5자리수
4와 5를 묶어 하나로 만들어 총 수의 개수가 4개라고 생각한 후
4와 5가 자리를 바꾸는 2가지의 경우를 곱해주면 됩니다
즉, 4와 5를 묶어 하나로 생각하여 4개의 수를 배열해준 뒤 (4!=4*3*2*1=24)
여기에 4와 5가 자리를 바꾸는 2가지를 곱합니다
즉, 4!*2=24*2=48가지입니다.
(4) 양끝이 홀수인 5자리 수
홀수는 3가지가 있습니다
이중 두개를 선택하는 경우는 3가지가 있습니다 순서 관계없이 13, 15,35 가 되겠지요
이제 이 3가지중 1가지를 선택하여 양끝에 놓는 경우의 수는 2가지가 됩니다
남은 3개의 수를 가운데에 배열하는 경우의 수는 3!=3*2*1=6이 됩니다
모든 경우를 곱해주면 3*2*6=36가지가 됩니다.
(5) 둥글게(원탁) 배열
둥글게 원탁배열을 하는경우
전체 경우의 수에서 전체 개수를 나누어주면 됩니다.
전체 경우의수는 5!=5*4*3*2*1=120에서 개수인 5를 나누어주면
경우의 수는 24가 됩니다.
+)둥글게 배열하는 경우 수의 순서가 없어지므로 전체개수로 나누어주는 것입니다.
12. 부, 모, 형제 2명
(1) 한 줄로 세우는 방법의 수
4명을 한줄로 세우므로 4! =4*3*2*1=24가지입니다.
(2) 부모가 이웃하여 한 줄, 방법의 수
부모를 한명으로 묶어 배열한 후 부모 자리를바꾸는 경우의 수를 곱해줍니다
부모를 한명으로 묶으면 3명이 되고 이를 배열합니다 . 3! = 3*2*1=6
여기에부모자리를 바꾸는 경우의 수인 2를 곱해줍니다.
즉, 3! *2=3*2*1*2=12가지입니다.
(3) 원탁..
아까 10번에서처럼 원탁에 배열하는 방법의 수는
전체 방법의 수에 갯수로 나누어주면 됩니다
전체 방법의 수는 24이고 개수는 4개입니다
그러므로 24에서 4를 나누면 6이 방법의 수가 됩니다.
